1復雜形狀刀具主要是指具有形狀較復雜的功能表面(如螺旋形前刀面等)的刀具。為了清晰、直觀地表達復雜形狀刀具的功能表面，需要構建三維可視化的設計環境。采用數控工具磨床對復雜形狀刀具進行數控磨削加工時，首先必須建立復雜形狀刀具的數學模型及實現刀具設計的三維可視化。
2 復雜形狀刀具的數學模型
復雜形狀刀具幾何模型
刀體的數學模型
為實現對復雜形狀刀具的數學描述，必須建立復雜形狀刀具刃線及各特征表面的數學模型。復雜形狀刀具的特征表面主要包括刀具外形表面(即刀體)、刀具前刀面、后刀面及溝槽等。復雜形狀刀具的幾何模型如圖1所示。
常用的復雜形狀刀具(如圓柱球頭刀具、圓錐球頭刀具、階梯形刀具等)的刀體一般采用回轉曲面(如圓柱面、圓錐面、球面等)。回轉曲面是由一條平面曲線繞該平面上一固定直線旋轉所產生的由面、該平面曲線即為回轉曲面的母曲線，該固定直線則為回轉曲面的軸線。
(1)母曲線L繞X軸旋轉一周所生成的曲面即回轉曲面S的方程為
(2)刃線的數學模型
(3) 復雜形狀刀具的刀刃通常采用螺旋形刃線，這是因為螺旋形刀刃在切削過程中可改變切屑流向，使切屑沿螺旋槽流出，起到散熱、減小切削阻力、防止切屑劃傷已加工表面等作用。同時，螺旋角可增大刀具的實際切削前角，提高切削刃的鋒利程度。
復雜形狀刀具的刃線主要有等螺旋角螺旋線、等導程螺旋線等。這些刀刃曲線均為普通螺旋線(即變導程、變螺旋角螺旋線)的形式之一，只是確定螺旋線的參數不同。因此，螺旋形刀刃曲線可用通用模型統一表示。
刀具的功能表面包括刀具的前刀面、后刀面、刀槽等，設計刀具時，功能表面的表達與其幾何參數的定義是緊密相關的。復雜形狀刀具的前角定義為法前角，即前角在刀具的法剖面內測量。因此，與刀具前角相關的功能表面的幾何結構(如前刀面、刀槽等)及參數均應在法剖面(即測量平面)內描述。復雜形狀刀具的后角在端截面內測量，因此，與刀具后角相關的功能表面幾何結構(及參數均應在端剖面(即測量平面)內描述。
